01 Liquidity 数学表达式

概述

在 Uniswap V3 协议纵览中，我们从宏观上理解了 V3 的核心思想，包括：

• 流动性不再分布在整个价格区间 $(0, \infty)$
• 而是集中在一个有限区间 $[p_{\text{lower}}, p_{\text{upper}}]$ 内
• 并通过引入 virtual liquidity，使局部曲线仍然满足恒定乘积关系

$$(x_R + x_V)(y_R + y_V) = L^2$$

然而，这个表达仍然是静态的。在真实的交易过程中，价格会不断变化，而流动性如何影响价格？资产数量如何随价格变化？ 这些问题，都需要更精细的数学描述。

本章从 Liquidity 的角度出发，系统回答以下几个关键问题：

1. 不同价格位置下的资产状态

当价格 $P$ 位于不同区间时：

• $P < p_{\text{lower}}$：只持有 token0
• $p_{\text{lower}} < P < p_{\text{upper}}$：双边资产
• $P > p_{\text{upper}}$：只持有 token1

我们将推导在不同状态下：

$$x_R(P), \quad y_R(P)$$

2. 全局流动性与区间流动性

• global liquidity（当前价格处的有效流动性）
• liquidity net（跨 tick 的变化量）

理解为什么流动性是“分段变化”的。

3. 虚拟储备与真实储备

• 如何计算 $x_V, y_V$（虚拟资产）
• 如何计算 $x_R, y_R$（真实资产）
• 它们在不同价格区间中的含义

4. 流动性 $L$ 的计算

• 如何根据 token 数量计算 $L$
• 如何根据 $L$ 反推出 token 数量
• $L$ 与价格的关系

通过这一章，我们将建立一个完整的认知在 Uniswap V3 中，价格的变化，本质上是由 liquidity 驱动的。 后续在分析 tick、swap、手续费计算等机制时， 这些公式将作为基础反复使用。

1. 不同价格位置下的资产状态

在 Uniswap V3 中，LP 提供的流动性只在区间 $[p_{\text{lower}}, p_{\text{upper}}]$ 内生效。 随着价格 $P$ 的变化，LP 持有的资产结构会发生变化。

1.1 当 $P > p_{\text{upper}}$（价格高于区间）

此时，价格已经完全穿过 LP 区间。

可以观察到：

• 所有流动性都表现为 token1（Y）
• token0（X）为 0

即：

$$x_R = 0, \quad y_R > 0$$

LP 的 token0 已经全部被卖出，换成了 token1

1.2 当 $P < p_{\text{lower}}$（价格低于区间）

此时，价格离开 LP 的做市区间。

可以观察到：

• 所有流动性都表现为 token0（X）
• token1（Y）为 0

即：

$$x_R > 0, \quad y_R = 0$$

从曲线上看，此时状态点停留在区间的左边界。LP 提供的是“等待被买入的 token0”

1.3 当 $p_{\text{lower}} < P < p_{\text{upper}}$（价格在区间内）

此时，流动性处于 active 状态。

随着价格移动：

• token0（X）逐渐减少
• token1（Y）逐渐增加

即：

$$x_R > 0, \quad y_R > 0$$

并且满足：

$$(x_R + x_V)(y_R + y_V) = L^2$$

可以将流动性状态总结为三段：

$$\begin{cases} P < p_{\text{lower}} & \Rightarrow (x_R > 0, \; y_R = 0) \\ p_{\text{lower}} < P < p_{\text{upper}} & \Rightarrow (x_R > 0, \; y_R > 0) \\ P > p_{\text{upper}} & \Rightarrow (x_R = 0, \; y_R > 0) \end{cases}$$

流动性并不是“同时提供两种资产”，而是随着价格变化，在 token0 与 token1 之间不断转换。价格的移动，本质上是 LP 资产在 X 与 Y 之间的再分配过程。

2. 全局流动性与区间流动性

在 Uniswap V3 中，每一个 LP position 都只在区间 $[p_{\text{lower}}, p_{\text{upper}}]$ 内提供流动性。 然而，Pool 并不会逐个 position 去计算当前流动性，而是维护一个全局状态：

$$L = \text{current active liquidity}$$

在每一个 price（实际应该用 tick 表示，这里用 price 为了方便理解） 上，协议并不会存储完整的流动性分布，而是记录一个关键变量 liquidityNet。它表示当价格穿过该 price（tick） 时，全局流动性的净变化量。

当价格 $P$ 发生变化时，Pool 会根据价格移动方向，对流动性进行更新：

2.1 当价格向右（上涨）：

• $p0$ liquidity 为初始值， $L = 0$
• $p1$ 当 price 进入区间 $[p_{\text{lower}}, p_{\text{upper}}]$ 开始添加 liquidityNet，$L + \Delta L = 0 + \Delta L = \Delta L$
• $p2$ 当 price 继续上涨，向右移动到中间，当前 liquidity 仍然为区间内储存的 $\Delta L$
• $p3$ 当 price 上涨到 $p_{\text{upper}}$ 边界，已经离开区间。liquidity 减少区间内的流动性，$L = 0$

2.2 当价格向左（下降）：

• $p4$ liquidity 为初始值， $L = 0$
• $p3$ 当 price 进入区间 $[p_{\text{lower}}, p_{\text{upper}}]$ 开始添加 liquidityNet，$L + \Delta L = 0 -(-\Delta L) = \Delta L$
• $p2$ 当 price 继续下降，向左移动到中间，当前 liquidity 仍然为区间内储存的 $\Delta L$
• $p0$ 当 price 下降到 $p_{\text{lower}}$ 边界，已经离开区间。liquidity 减少区间内的流动性，$L = 0$

2.3 区间流动性的叠加

如果将多个 LP position 放在同一个价格轴上，可以得到如图所示的流动性分布。

当多个 position 叠加时：

• 在同一个价格区间内，流动性会累加

• 在边界处，流动性会发生跳变

• $p0:$ liquidity 为初始值，$L = 0$

• $p1:$ 价格上涨，进入第一个流动性区间，开始添加 liquidityNet，$L + 100 = 100$

• $p2:$ 继续移动，进入第二个区间，$L + 150 = 250$

• $p3:$ 离开第二个区间，$L - 150 = 100$

• $p4:$ 离开第一个区间，$L - 100 = 0$

• $p5:$ 离开所有区间，liquidity = 0

因此，流动性是由一组分布在 price（tick） 上的 liquidityNet 决定。当价格 $P$ 发生变化时，Pool 的行为可以抽象为在 tick 轴上沿价格方向进行一次扫描，并逐个应用 liquidityNet。

因此，全局流动性可以表示为：

$$L(P) = \sum_{\text{ticks crossed}} liquidityNet$$

3. 虚拟储备与真实储备

3.1 虚拟储备

在 V3 中区间流动性不再是全局分布，而是集中在有限区间内。但这段曲线本身并不是独立存在的，而是嵌入在一条更完整的 AMM 曲线之中。为了仍然维持连续且一致的价格函数，V3 引入了 virtual liquidity。其本质是在 x 和 y 方向引入偏移量x_virtual, y_virtual，将当前的真实状态 (x, y) 嵌入到一个更大的坐标系中，从而使该状态仍然落在一条完整的 AMM 曲线上。

在图片中我们可以看到：

• $x_0$：当价格位于 $P_{\text{lower}}$（下界）时，该 position 的全部真实 token0 数量

• $y_0$：当价格位于 $P_{\text{upper}}$（上界）时，该 position 的全部真实 token1 数量

• virtual x 是 token 0 的数量

• virtual y 是 token 1 的数量

因此，当 price 在区间内时，$X$ 的真实储备是大于 0，且小于 $x_0$ （若大于 $x_0$ ，则是另外一个区间） 同理，$Y$ 的真实储备也是大于 0，且小于 $y_0$ （若大于 $y_0$， 则是另外一个区间）

需要注意的是，$x_V$ 和 $y_V$ 并不是任意引入的偏移量。它们之所以能够被唯一确定，是因为它们本身仍然属于完整恒定乘积曲线上的坐标量，为了使当前真实状态 $(x_R, y_R)$ 仍然落在一条完整的恒定乘积曲线上，我们要求：

$$(x_R + x_V)(y_R + y_V) = L^2$$

其中，$x_V, y_V$ 是需要求解的虚拟储备。

第一步：写出完整曲线上的坐标关系

对于完整曲线：

$$XY = L^2$$

价格定义为：

$$P = \frac{Y}{X}$$

联立可得：

$$X = \frac{L}{\sqrt{P}}, \qquad Y = L\sqrt{P}$$

化简过程：

$$\frac{L^2}{P} = \frac{XY}{\frac{Y}{X}} = X^2 => X = \frac{L}{\sqrt{P}}$$

$$L^2 P = XY \cdot \frac{Y}{X} = Y^2 => Y = L\sqrt{P}$$

这意味着，在价格为 $P$ 时，完整曲线上的横纵坐标分别可以表示为以上公式。

第二步：利用边界条件求 $x_V$ （后续都用 $P_B$ 表示 P upper，$P_A$ 表示 $P_{\text{lower}}$）

当价格达到上界 $P_{\text{upper}}$ 时，该 position 已经完全转化为 token1，因此：

$$x_R = 0$$

此时，完整曲线上的横坐标仅由虚拟部分构成，所以：

$$x_V(y_R + y_V) = L^2$$

$$x_V = \frac {L^2}{y_R + y_V}$$

$$x_V = \frac{L^2}{L\sqrt{P_B}}$$

$$x_V = \frac{L}{\sqrt{P_B}}$$

第三步：利用边界条件求 $y_V$

当价格达到下界 $P_{\text{lower}}$ 时，该 position 已经完全转化为 token0，因此：

$$y_R = 0$$

此时，完整曲线上的纵坐标仅由虚拟部分构成，所以：

$$(x_R+x_V)y_V = L^2$$

$$y_V = \frac{L^2}{x_R+x_V}$$

$$y_V = \frac{L^2}{\frac{L}{\sqrt{P_A}}}$$

$$y_V = L\sqrt{P_A}$$

第四步：将 $x_V, y_V$ 代入主方程，可得：

$$\left(x_R + \frac{L}{\sqrt{P_B}}\right)\left(y_R + L\sqrt{P_A}\right)=L^2$$

这就是 Uniswap V3 中 real reserves 与 virtual reserves 的核心关系式。

3.2 真实储备

在上一节中，我们通过引入虚拟储备，将当前状态 $(x_R, y_R)$ 嵌入到完整曲线：

$$(x_R + x_V)(y_R + y_V) = L^2$$

并求得：

$$x_V = \frac{L}{\sqrt{P_B}}, \qquad y_V = L\sqrt{P_A}$$

当价格在区间内移动时：

• 价格上升（$P_{\text{lower}} \rightarrow P_{\text{upper}}$）：
• token0 被不断卖出
• token1 不断增加
• 最终变为纯 $y_0$（即 $x_0 = 0$）

$$\left( 0 + \frac{L}{\sqrt{P_B}} \right) \left( {y_0} + L \sqrt{P_A} \right) = L^2$$

化简：

$$\frac{L}{\sqrt{P_B}} \left( y_0 + L \sqrt{P_A} \right) = L^2$$

$$y_0 + L \sqrt{P_A} = L \sqrt{P_B}$$

最终得到：

$$y_0 = L\sqrt{P} - L\sqrt{P_A}$$

• 价格下降（$P_{\text{upper}} \rightarrow P_{\text{lower}}$）：
• token1 被不断卖出
• token0 不断增加
• 最终变为纯 $x_0$（即 $y_0 = 0$）

$$\left( x_0 + \frac{L}{\sqrt{P_B}} \right) \left( {0} + L \sqrt{P_A} \right) = L^2$$

化简：

$$\left( x_0 + \frac{L}{\sqrt{P_B}} \right)\sqrt{P_A} = L^2$$

$$x_0 + \frac{L}{\sqrt{P_B}} = \frac{L}{\sqrt{P_A}}$$

最终得到：

$$x_0 = \frac{L}{\sqrt{P}} - \frac{L}{\sqrt{P_B}}$$

所以 $x_0$ 和 $y_0$ 是在区间两端，该 position 的“极限资产状态”。更重要的是，它们提供了将当前状态 $(x_R, y_R)$ 与价格区间联系起来的边界条件。

总结

• virtual reserves：用于构造完整曲线
• real reserves：是当前价格下实际持有的资产

两者关系：

$$\text{real} = \text{global curve} - \text{virtual offset}$$

这也是 Uniswap V3 将“局部流动性”嵌入“全局 AMM”的核心方式。

4. 流动性 $L$ 的计算

在上一节中，我们已经得到真实储备：

$$x_R = \frac{L}{\sqrt{P}} - \frac{L}{\sqrt{P_B}}, \qquad y_R = L\sqrt{P} - L\sqrt{P_A}$$

这说明在 Uniswap V3 中，token 数量并不是直接存储的，而是由 $L$ 和价格共同决定。

因此，我们可以做两件事：

• 已知 token 数量，反推 $L$
• 已知 $L$，计算 token 数量

这两者本质上是同一组公式的不同变形。

4.1 由 Token 数量计算 Liquidity

已知用户希望在区间 $[P_{\text{lower}}, P_{\text{upper}}]$ 提供：

• $x$（token0）
• $y$（token1）

当前价格为 $P_c$

---

Case 1：$P_c < P_A$（价格低于区间）

此时 position 完全是 token0：

$$L = x \cdot \frac{\sqrt{P_A} \cdot \sqrt{P_B}}{\sqrt{P_B} - \sqrt{P_A}}$$

---

Case 2：$P_A \le P_c < P_B$（价格在区间内）

此时同时持有 token0 和 token1。

分别用两种 token 推导 liquidity：

$$L_0 = x \cdot \frac{\sqrt{P_c} \cdot \sqrt{P_B}}{\sqrt{P_B} - \sqrt{P_c}}$$

$$L_1 = \frac{y}{\sqrt{P_c} - \sqrt{P_A}}$$

最终取较小值（确保两种 token 都能满足）：

$$L = \min(L_0, L_1)$$

---

Case 3：$P_c \ge P_B$（价格高于区间）

此时 position 完全是 token1：

$$L = \frac{y}{\sqrt{P_B} - \sqrt{P_A}}$$

4.2 由 Liquidity 计算 Token 数量

已知：

• $L$
• $P_A, P_B$
• 当前价格 $P_c$

先计算：

$$\sqrt{P_c}, \quad \sqrt{P_A}, \quad \sqrt{P_B}$$

---

Case 1：$P_c < P_A$

全部为 token0：

$$\text{amount}_0 = L \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{P_A}} - \frac{1}{\sqrt{P_B}}\right)$$

$$\text{amount}_1 = 0$$

---

Case 2：$P_A \le P_c < P_B$

同时持有两种 token：

$$\text{amount}_0 = L \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{P_c}} - \frac{1}{\sqrt{P_B}}\right)$$

$$\text{amount}_1 = L \cdot \left(\sqrt{P_c} - \sqrt{P_A}\right)$$

---

Case 3：$P_c \ge P_B$

全部为 token1：

$$\text{amount}_0 = 0$$

$$\text{amount}_1 = L \cdot \left(\sqrt{P_B} - \sqrt{P_A}\right)$$

---

正如本节开头所说，在前文中我们已经得到：

$$x_R = \frac{L}{\sqrt{P}} - \frac{L}{\sqrt{P_B}}, \qquad y_R = L\sqrt{P} - L\sqrt{P_A}$$

可以看到：

• $\text{amount}_0$ 本质就是 $x_R$
• $\text{amount}_1$ 本质就是 $y_R$

Token 数量公式就是真实储备公式在不同价格区间的展开。

• virtual reserves：定义完整曲线的位置
• real reserves：定义当前持有的 token
• liquidity $L$：定义曲线的“尺度”

三者关系：

$$(x_R + x_V)(y_R + y_V) = L^2$$

而 token 计算公式，只是这个关系在不同价格区间下的具体表现形式。

5. 流动性变化与 Token 的关系（$ΔL$）

• $L_0 = Liquidity before$
• $L_1 = Liquidity after$
• $\Delta L = L_1 - L_0$

---

Case 1： $P≤PA$

此时 position 完全由 token0 构成，当增加 token0（$Δx$）时，对应的流动性变化为：

$$L_0 = \frac{x}{\frac{1}{\sqrt{P_A}} - \frac{1}{\sqrt{P_B}}}$$

$$L_1 = \frac{x + \Delta x}{\frac{1}{\sqrt{P_A}} - \frac{1}{\sqrt{P_B}}}$$

$$\Delta L = L_1 - L_0 = \frac{\Delta x}{\frac{1}{\sqrt{P_A}} - \frac{1}{\sqrt{P_B}}}$$

在价格低于区间时：

• 只需要 token0 提供流动性
• 流动性的变化完全由 Δx 决定

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Case 2：$P_B ≤ P)$

此时 position 完全由 token1 构成。

$$L_0 = \frac{y}{\sqrt{P_B} - \sqrt{P_A}}$$

$$L_1 = \frac{y + \Delta y}{\sqrt{P_B} - \sqrt{P_A}}$$

$$\Delta L = L_1 - L_0 = \frac{\Delta y}{\sqrt{P_B} - \sqrt{P_A}}$$

在价格高于区间时：

• 只需要 token1 提供流动性
• 流动性的变化完全由 Δy 决定

---

Case 3：$P_A < P < P_B$

此时 token0 和 token1 都参与：

$$\begin{aligned} L_0 &= \frac{x}{\frac{1}{\sqrt{P}} - \frac{1}{\sqrt{P_B}}} \\ &= \frac{y}{\sqrt{P} - \sqrt{P_A}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} L_1 &= \frac{x + \Delta x}{\frac{1}{\sqrt{P}} - \frac{1}{\sqrt{P_B}}} \\ &= \frac{y + \Delta y}{\sqrt{P} - \sqrt{P_A}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Delta L &= L_1 - L_0 \\ &= \frac{\Delta x}{\frac{1}{\sqrt{P}} - \frac{1}{\sqrt{P_B}}} \\ &= \frac{\Delta y}{\sqrt{P} - \sqrt{P_A}} \end{aligned}$$

通过以上三种情况可以看到：

• token0 对应的是 反价格空间（$1 / \sqrt{P}$）的线性变化
• token1 对应的是 价格空间（$\sqrt{P}$）的线性变化

而 liquidity $L$，本质上是连接这两个空间的“统一度量”。