06 Fee 和资金结算

概述

在前一章中，我们已经理解了 LP 通过提供 liquidity 参与 swap，这章我们将解释 V3 中非常核心的问题：LP 的收益是如何计算的？在 Uniswap 中，LP 的收益主要来源于交易手续费 swap fee，但在 V2 和 V3 中是完全不同的。

在 V2 中，所有流动性是全局共享的，没有价格区间，所有 LP 的资金都参与每一笔交易。所以，在每一笔 swap 中交易者支付手续费（如 0.3%），这些手续费会直接加入池子的储备reserve。LP 并不会直接领取 fee，而是通过 LP token 的份额，间接拥有 pool 的一部分资产。

其本质是：

LP 收益 ∝ LP 持有份额 × 池子累计手续费

所以在 V2 中，不需要逐笔计算 fee，不需要区分区间，不需要 tracking 历史。

但是，在 V3 中问题变复杂了，V3 中 liquidity 被分布在不同价格区间，且只有 active 的 liquidity 才参与 swap，每个区间的 liquidity 都不同。这意味着：不同 LP，在不同时间、不同区间，参与交易的程度是不同的。

1. 单次 swap

我们先不看合约，先从理论上应该怎么算出发。

• 黄色柱子：不同 tick 区间的总 liquidity（L）
• 粉色横条：Alice 提供的 liquidity（S）
• 虚线位置：价格在移动（swap 过程）
• f₀, f₁：在不同区间产生的手续费

假设：用户用 token Y 交换 token X（价格向右移动）

Step 1：在第一个区间内成交（L₀）

价格先在区间 L₀ 内移动
→ 产生手续费 f₀
→ 所有在该区间的 LP 参与分配

Step 2：价格进入下一个区间（L₁）

价格继续移动到下一个区间 L₁
→ 又产生手续费 f₁
→ 在该区间的 LP 重新参与分配

Alice 能拿多少手续费？

在区间 $L_0$ 中：

Alice 占比 = S / L₀

获得手续费 = f₀ × (S / L₀)

在区间 $L_1$ 中：

Alice 占比 = S / L₁

获得手续费 = f₁ × (S / L₁)

总收益：

$$f = f_0 \cdot \frac{S}{L_0} + f_1 \cdot \frac{S}{L_1}$$

所以，每一个价格区间都是一个独立的手续费分配池。LP 在每个区间中按照自己 liquidity 占该区间总 liquidity 的比例，分摊该区间产生的手续费。

2. 多区间（引入时间）

但是在 V3 中并不是简单的单次 swap，而是会发生 swap 跨越多个区间、不同时间、不同区间中的手续费分配。

黄色柱子：某个时刻、某个 tick 区间内的总流动性

• 粉色横条 S：Alice 自己提供的 liquidity
• 紫色标记 L_{i,t}：第 t 个时刻、第 i 个区间中的总流动性
• 橙色标记 f_{i,t}：第 t 个时刻、第 i 个区间内产生的手续费

这里我们把“区间”记为 i，把“时间”记为 t。

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Case 1： t = 0

在第一个时刻，价格向右移动，并跨过了两个区间。

图中对应的是：

• 在区间 i = 0 中，产生了手续费 f_{0,0}
• 在区间 i = 1 中，产生了手续费 f_{1,0}

而 Alice 在这两个区间里都提供了流动性 S，因此她可以分别按占比分到这两个区间的手续费。 在区间 i = 0 中，Alice 的占比为：$S / L_{0,0}$，所以她在这个区间拿到的手续费是： $f_{0,0} \cdot \frac{S}{L_{0,0}}$

同理，在区间 i = 1 中，她拿到：$f_{1,0} \cdot \frac{S}{L_{1,0}}$

因此，第一个图对应的总收益为：

$$f^{(0)} = f_{0,0} \cdot \frac{S}{L_{0,0}} + f_{1,0} \cdot \frac{S}{L_{1,0}}$$

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Case 2：t = 1

到了第二个时刻，价格向左移动。

在这个时刻，价格向左移动，对应 swap 方向为 X → Y。由于我们当前只关注 token Y 的 fee：

• 此方向不会产生 Y 的手续费
• 因此对 feeGrowth(Y) 没有贡献

因此：

$$f^{(1)} = 0$$

所以，不是 Alice 在每一个时刻、每一个区间都会产生可分配的手续费。

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Case 3：t = 2

在第三个时刻，价格再次向右移动，并跨过了更多区间。

图中对应的是：

• 在区间 i = -2 中，产生了手续费 f_{-2,3}
• 在区间 i = -1 中，产生了手续费 f_{-1,3}
• 在区间 i = 0 中，产生了手续费 f_{0,3}

而这些区间当前的总流动性分别为：

• L_{-2,3}
• L_{-1,3}
• L_{0,3}

因此，Alice 在这个时刻得到的总手续费为：

$$f^{(3)} = f_{-2,3} \cdot \frac{S}{L_{-2,3}} + f_{-1,3} \cdot \frac{S}{L_{-1,3}} + f_{0,3} \cdot \frac{S}{L_{0,3}}$$

上面已经告诉我们一个核心：LP 的手续费，不是全池统一平均分配的，而是在每个区间中，按 liquidity 占比分开计算。如果我们暂时不考虑时间，只看某一次价格移动跨过了多个区间的情况，那么 Alice 的总收益可以写成：

$$f = \sum_i f_i \cdot \frac{S}{L_i}$$

• f_i：第 i 个 step 中产生的手续费
• L_i：第 i 个区间的总流动性
• S：Alice 的流动性

这个公式的意思：

对于价格经过的每一个区间，Alice 都按自己在该区间中的 liquidity 占比，分得该区间产生的手续费。

如果把 S 提出来，还可以写成：

$$f = S \cdot \sum_i \frac{f_i}{L_i}$$

它已经开始接近后面 feeGrowth 的思想了。

前面我们加入了时间维度，因为现实中，swap 不会只发生一次。价格会在不同时间不断变化，不同区间的 liquidity 也可能发生变化，因此手续费分配不只是“跨区间”，而是也“跨时间”的。

所以在第 t 个时刻，Alice 的收益可以写成：

$$f_t = S \cdot \sum_i \frac{f_{i,t}}{L_{i,t}}$$

表示：在时刻 t，Alice 在所有相关区间中的手续费收益之和。

如果再把所有时间段加总，那么 Alice 从起始时刻到最终时刻的总收益就是：

$$f = \sum_t f_t$$

把上面两个式子合并起来，可以得到最终的一般形式：

$$f = S \cdot \sum_t \sum_i \frac{f_{i,t}}{L_{i,t}}$$

所以，V3 中 LP 的收益，是一个“跨时间 + 跨区间”的双重加权求和问题。在每一个时间点、每一个价格区间中，按照该 LP 的 liquidity 占比来分摊手续费。那么问题是：为什么不能直接按这个公式在链上算？

因为这样做意味着必须遍历：所有时间点、所有发生过 swap 的区间、所有区间对应的 liquidity 变化。这在链上显然是不可行的，因为 gas 成本会爆炸。

所以这个公式是“理论上最直观的手续费定义”，但不是合约中真正直接执行的方式。也正因为如此，V3 才必须设计一套压缩记账的方法，把这个复杂求和压缩成后面要讲的 feeGrowth 机制。

3. 从逐笔计算到 feeGrowth

上面的公式给出了 LP 收益的“理论定义”，但在链上逐笔计算这些值是不可行的。因此，我们需要一种方法：不记录每一笔交易，而是记录“累计的单位 liquidity 收益”，即 V3 的核心设计：feeGrowth。

我们定义 feeGrowth 为“单位 liquidity 的累计收益”：

$$f_g = \sum_{i=0}^{N} \frac{f_i}{L_i}$$

也可以展开写为：

$$f_g = \frac{f_0}{L_0} + \frac{f_1}{L_1} + \cdots + \frac{f_N}{L_N}$$

也就是说，feeGrowth 表示“每单位 liquidity 到目前为止赚到的手续费”。注意：这里记录的不是总 fee，而是 fee / liquidity。

那么 feeGrowth 是如何变化的？以下面图片中的例子为例：

黄色柱子表示不同 tick 区间中的总流动性

• L₂、L₃、L₄ 表示对应区间内的有效 liquidity
• 绿色折线表示价格在 swap 过程中跨越多个区间时，手续费累计的过程
• f₀, f₁, f₂, f₃, f₄ 表示在不同 step / 不同区间中产生的手续费片段

这里最关键的是先理解f0, f1, f2, f3, f4 不是同一个区间里的重复 fee，而是 swap 在不同 step 中，分别收取到的手续费增量。

f0

价格刚开始移动，在最初那个 step 中发生了一段成交，收取了手续费 f0。 此时对应的总流动性是 L0，因此它对 fee growth 的贡献是：

$$\frac{f_0}{L_0}$$

---

f1

价格继续在下一小段路径中移动，又发生一段成交，收取了手续费 f1。 此时对应区间的有效流动性是 L1，因此贡献是：

$$\frac{f_1}{L_1}$$

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f2

价格进一步进入图中标记为 L₂ 的区间流动性，并在这个区间内发生一段成交，收取手续费 f2。 因此这一步的贡献是：

$$\frac{f_2}{L_2}$$

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f3

价格继续推进到下一个 step，对应区间总流动性为 L₃，此时又收取手续费 f3。 因此贡献为：

$$\frac{f_3}{L_3}$$

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f4

最后，价格进入 L₄ 对应的区间流动性，再次发生一段成交，收取手续费 f4。 因此贡献为：

$$\frac{f_4}{L_4}$$

因为 feeGrowth 本质上是一个累计量。它不是记录某一次 swap 的总 fee，而是在记录：到当前为止，所有 step 对“每单位 liquidity 收益”贡献的累计和。

所以图中的绿色折线，其实就是在表达：

• 先加上 f0 / L0
• 再加上 f1 / L1
• 再加上 f2 / L2
• 再加上 f3 / L3
• 再加上 f4 / L4

每发生一个新的 step，feeGrowth 就增加一次。

$$f_g = \frac{f_0}{L_0} + \frac{f_1}{L_1} + \frac{f_2}{L_2} + \frac{f_3}{L_3} + \frac{f_4}{L_4}$$

如果把这个例子推广，那么在任意一段 swap 过程中，feeGrowth 都可以写成：

$$f_g = \sum_{i=0}^{N} \frac{f_i}{L_i}$$

• f_i：第 i 个 step 中收取的手续费
• L_i：第 i 个 step 对应区间的有效流动性

结合上图，我们可以用“规则”的方式总结 swap 过程中 fee growth 的变化：

规则 1：当发生手续费收取时，fee growth 增加

在 swap 过程中：

• 每一个 step 中，如果发生交易并收取手续费 $f_i$
• 且当前区间的流动性为 $L_i$

那么 fee growth 会增加：

$$\Delta f_g = \frac{f_i}{L_i}$$

在图中的对应：

• 在 tick 3 区间：产生 $f_0$ -> fee growth 增加 $\frac{f_0}{L_0}$
• 在 tick 4 区间：产生 $f_1$ -> fee growth 增加 $\frac{f_1}{L_1}$
• 在 tick2 区间：产生 $f_2$ → fee growth 增加 $\frac{f_2}{L_2}$
• 在 tick3 区间：产生 $f_3$ → fee growth 增加 $\frac{f_3}{L_3}$
• 在 tick4 区间：产生 $f_4$ → fee growth 增加 $\frac{f_4}{L_4}$

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规则 2：fee growth 是“累加量”，不会减少

• fee growth 只会增加
• 不会因为价格回退而减少

因此：

• 图中的虚线（fee growth）始终向上
• 不会出现下降

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规则 3：不同方向的 swap，对 fee growth 的影响不同

对于某个 token（例如 token Y）：

• 当 swap 是 Y → X（输入 Y）

• 会收取 Y 的手续费

• fee growth 增加

• 当 swap 是 X → Y（输入 X）

• 不收取 Y 的手续费

• fee growth 不变

总结，fee growth 的变化可以用一句话概括：fee growth 只在“收取对应 token 手续费”时增加，其余情况下保持不变。

4. 从 feeGrowth 到 feeGrowthInside

在上一节中，我们已经得到一个关键结论：

$$f = S \cdot \sum_t \sum_i \frac{f_{i,t}}{L_{i,t}}$$

并进一步抽象出：

$$f_g = \sum_{i=0}^{N} \frac{f_i}{L_i}$$

我们可以用 feeGrowth 来表示单位 liquidity 的累计手续费。

但是这还不够，虽然 feeGrowth 已经把“跨时间 + 跨区间”的复杂求和压缩成一个累计量，但仍然存在一个关键问题：LP 只应该获得自己价格区间内的手续费。feeGrowth 是全局累计，但 LP 只关心[i_lower, i_upper] 区间内的部分。

如果我们通过遍历所有历史 step 的方法来计算，这在链上是完全不可行的（gas 爆炸）。所以，V3 的优化办法是用“减法”代替“遍历”。它不会去“找区间内的 fee”，而是用全局 fee - 区间外 fee。

4.1 三个关键量

下面我们将根据图片介绍如何用全局 fee - 区间外 fee，我们首先要了解三个关键的变量：

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1️⃣ 全局 fee growth

$$f_g$$

表示从系统开始到现在，所有 step 的累计 fee / liquidity

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2️⃣ 区间外（below / above）

对于任意 tick $i$：

下方累计：

$$f_b(i) = \text{fee growth below tick } i$$

上方累计：

$$f_a(i) = \text{fee growth above tick } i$$

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3️⃣ 区间内 fee growth

对于一个 LP 区间：

$$[i_l, i_u]$$

定义：

$$f_{\text{inside}}(i_l, i_u)$$

核心公式：

$$f_{\text{inside}} = f_g - f_b(i_l) - f_a(i_u)$$

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🟥 左侧红色（below）

• 表示 $f_b(i_l)$
• 即：在 lower tick 左边产生的 fee

这些 fee 不属于当前 LP

🟥 右侧红色（above）

• 表示 $f_a(i_u)$
• 即：在 upper tick 右边产生的 fee

同样不属于当前 LP

🟢 中间绿色（inside）

全局

• 左边不要的
• 右边不要的

剩下的，就是 LP 区间内真正应该拿到的 fee

公式：

$$\text{feeGrowthInside} = \text{global cumulative} - \text{outside-range cumulative}$$

即：feeGrowthInside = 全局累计 - 区间外累计

这样设计带来三个好处：

1. 不需要遍历历史 O(N) → O(1)，只需要当前 global 和两个边界 tick 的状态；
2. 支持任意 LP 区间，无论 LP 什么时候进场，选择什么区间，价格如何来回穿越，都可以用同一套公式计算；
3. 链上不会 gas 爆炸，并且只需要存 feeGrowthGlobal 和每个 tick 的 feeGrowthOutside，即可完成所有 LP 的结算。

5. Fee Growth Below（下方累计）

我们先关注一个固定的 tick：$i$。我们定义：$f_b(i)$ ，表示在所有历史 swap 中，发生在 tick $i$ 下方的累计 fee growth。

从图中可以看到：

• 绿色折线表示全局 fee growth $f_g$ 随时间的变化
• 红色区域表示在 tick $i$ 下方产生的 fee

随着时间推进：

• 当价格在 tick $i$ 左侧时，新的 fee 会被计入 “below”
• 当价格在 tick $i$ 右侧时，新的 fee 不属于 below

因此，$f_b(i)$ 本质上是所有发生在 tick $i$ 下方的 fee 的累计。但是，这里有一个核心问题，价格会在 tick $i$ 两侧来回移动。

这意味着：

• 有些 fee 在某个时刻属于 below
• 但如果价格穿过 tick，这些 fee 的“归属方向”会发生变化

因此 $f_b(i)$ 并不是一个可以简单“线性累加”的量。

如果我们按照时间展开，在不同时间点：

$$t_0 < t_1 < t_2 < t_3 < t_4$$

可以得到：

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🔹 t₀（价格在 i 左边）

• 所有 fee 都发生在 i 左边，没有 crossing
• 所以：

$$f_b(t_0) = f_{g0}$$

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🔹 t₁（价格从 左 → 右 穿过 i）

• 原来“左边”的那部分，现在变成“右边”
• below 区域换边了

所以不能简单用 below = 之前累积 计算，而必须用 below = 当前全局 fee growth - 已归属到右侧的累计

即：

$$f_b(t_1) = f_{g0} - f_{g1} + f_g$$

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🔹 t₂（价格从 右 → 左 穿过 i）

• 发生 crossing，below / above 再次交换
• 当前 price 回到左侧
• 新产生的 fee（fg2）属于 below
• 表达式恢复为“正常累加形态”

$$f_b(t_2) = f_{g0} - f_{g1} + f_{g2}$$

表示：

• crossing
• 只是把新一段加进表达式

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🔹 t₃（价格从 左 → 右 穿过 i）

• 再次发生 below 和 above 交换
• fb = fg - 已累计的另一侧 fee

即：

$$f_b(t_3) = f_{g0} - f_{g1} + f_{g2} - f_{g3} + f_g$$

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🔹 t4（价格从 右 -> 左 再次穿过 i）

• 再次发生 crossing
• below / above 再次交换
• 表达式再次翻转

即：

$$f_b(t_4) = f_{g0} - f_{g1} + f_{g2} - f_{g3} + f_{g4}$$

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总结：

• 每 crossing 一次 tick： $f_b(i)$ 会变为：$f_b(i) = f_g - f_b(i)$

• 没有 crossing： 只是继续累加新的 fee growth（± $fg_k$）

因此整体表现为：

$$f_b(t) = f_{g0} - f_{g1} + f_{g2} - f_{g3} + \cdots$$

也就是说，每 crossing 一次 tick 就发生一次符号翻转。但在实际实现中，V3 并不会按这个公式计算，而是通过状态更新来维护这个结果。

因为如果我们按照这个定义在链上计算 below，将需要遍历所有历史 swap。但这在实际中是不可行的 gas 会爆炸。

为了解决 above / below 无法直接计算的问题，V3 引入了一个关键变量：

$$f_o(i)$$

设：

$$i_c = \text{current price tick}$$

其中，$i_c$ 表示当前价格所在 tick。

则：

$$f_b(i) = \begin{cases} f_o(i), & i \le i_c \\ f_g - f_o(i), & i_c < i \end{cases}$$

因此，V3 并不直接存储 fee growth below，而是改为在每个 tick 上存储一个更容易更新的量feeGrowthOutside，后续再根据当前价格相对 tick $i$ 的位置，恢复出： $f_b(i)$ 和 $f_a(i)$，接下来我们将继续 $f_a(i)$ 的介绍。

6. Fee Growth Above（上方累计）

我们同样关注一个固定的 tick：$i$。我们定义：

$$f_a(i) = \text{fee growth above tick } i$$

从图中可以看到：

• 绿色折线表示全局 fee growth $f_g$
• 红色区域表示在 tick $i$ 上方产生的 fee

随着时间推进：

• 当价格在 tick $i$ 右侧时，新的 fee 会被计入 “above”
• 当价格在 tick $i$ 左侧时，新的 fee 不属于 above

因此，$f_a(i)$ 本质上是所有发生在 tick $i$ 上方的 fee 的累计。

和 below 一样：

• price crossing tick i 时
• “above / below”的归属会发生翻转

因此，$f_a(i)$ 也不是一个可以简单线性累加的量

从时间展开观察规律（仅用于理解）

设：

$$t_0 < t_1 < t_2 < t_3 < t_4$$

可以得到：

---

🔹 t₀（价格在 i 右边）

• 所有 fee 都在 i 上方
• 计算上方 fee

$$f_a(t_0) = f_g - f_{g0}$$

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🔹 t₁（价格从 右 → 左 穿过 i）

• above / below 发生交换

$$f_a(t_1) = f_{g1} - f_{g0}$$

---

🔹 t₂（价格 左 → 右 穿过 i）

• 新产生的 fee 属于 above

$$f_a(t_2) = f_g - f_{g2} + f_{g1} - f_{g0}$$

---

🔹 t₃（价格从 右 → 左 穿过 i）

• 再次发生翻转

$$f_a(t_3) = f_{g3} - f_{g2} + f_{g1} - f_{g0}$$

---

🔹 t₄（价格 左 → 右 穿过 i）

$$f_a(t_4) = f_g - f_{g4} + f_{g3} - f_{g2} + f_{g1} - f_{g0}$$

---

从这些展开可以观察到：

• 和 below 一样，每 crossing 一次 tick，就发生一次符号翻转
• 非 crossing 时，只是继续累加

因此，这些展开式只是用于帮助理解“翻转机制”，实际计算不会使用这些表达式，而是用 feeGrowthOutside 表示 above。

我们已经定义：

$$f_o(i)$$

表示 tick 上记录的 feeGrowthOutside

设：

$$i_c = \text{current price tick}$$

其中，$i_c$ 表示当前价格所在 tick。

则：

$$f_a(i) = \begin{cases} f_g - f_o(i), & i \le i_c \\ f_o(i), & i_c < i \end{cases}$$

因此 above 并不是独立设计的量，而是通过 feeGrowthOutside + 当前价格位置恢复得到。below / above 本质是同一个东西的两种视角，而发生 crossing 时会导致“归属翻转”，另外 V3 不存 below / above，只存$f_o(i)$ 。并通过当前价格位置恢复：$f_b(i)$ 和 $f_a(i)$

7. feeGrowthOutside 的初始化与更新

在上一节中，我们已经看到：

• feeGrowthBelow 和 feeGrowthAbove 都不是简单的线性累加量
• 它们会随着价格 crossing tick 而发生“归属翻转”
• 如果直接按历史定义去维护，链上需要遍历所有历史 swap，gas 成本无法接受

因此，V3 并不会直接存储：

• f_b(i)：tick i 下方的累计 fee growth
• f_a(i)：tick i 上方的累计 fee growth

而是为每一个初始化过的 tick，存储一个更容易维护的状态变量：

$$f_{out,i}$$

表示 tick i 处记录的 feeGrowthOutside。这个变量的核心作用是用一个状态量，压缩和编码价格多次 crossing 该 tick 后的“翻转历史”。所以，后面我们并不是直接去算 $f_b(i),\quad f_a(i)$

7.1 初始化规则

当一个 tick i 第一次被初始化时，我们需要决定当前为止，哪些 fee 属于 “outside”。

设当前价格所在 tick 为 $i_c$，那么：

• 如果 $i \le i_c$（tick 在当前价格左边）
• outside = 左边那一部分
• 所以：

$$f_{out,i} = f_g$$

• 如果 $i > i_c$（tick 在当前价格右边）
• outside 还没有任何累计
• 所以：

$$f_{out,i} = 0$$

当价格穿过 tick i 时：

• 原本的 outside 区域变成 inside
• 原本的 inside 区域变成 outside

outside 的定义被“翻转”，根据前面推导：

$$f_{new} = f_g - f_{old}$$

因此：

$$f_{out,i} = f_g - f_{out,i}$$

这意味着 $f_{out,i}$ 已经隐式记录了：

• tick 左侧 / 右侧的 fee 累计
• 以及多次 crossing 后的“翻转结果”

接下来我们要做的事情是用 $f_{out,i}$ 恢复：

$$f_b(i), \quad f_a(i)$$

从而进一步计算：

$$f_{\text{inside}}(i_{lower}, i_{upper})$$

7.2 更新规则

对于一个 LP 区间 $[i_{lower},\ i_{upper}]$，定义该区间内的 fee 为：

$$f(i_{lower}, i_{upper}) = f_g - f_b(i_{lower}) - f_a(i_{upper})$$

其中：

• $f_g$：全局 fee growth
• $f_b(i_{lower})$：下边界以下的 fee
• $f_a(i_{upper})$：上边界以上的 fee

设当前价格所在 tick 为 $i_c$ 时：

Fee below

$$f_b(i) = \begin{cases} f_{out,i}, & i \le i_c \\ f_g - f_{out,i}, & i_c < i \end{cases}$$

Fee above

$$f_a(i) = \begin{cases} f_g - f_{out,i}, & i \le i_c \\ f_{out,i}, & i_c < i \end{cases}$$

可以看到 fee inside 的计算，取决于：

• 当前价格位置 $i_c$
• 相对于区间 $[i_{lower}, i_{upper}]$ 的位置

因此需要分三种情况讨论：

1. 当前价格在区间左侧：$i_c < i_{lower}$
2. 当前价格在区间内部：$i_{lower} \le i_c \le i_{upper}$
3. 当前价格在区间右侧：$i_{upper} < i_c$

Case 1: $i_c < i_{lower}$（价格在区间左侧）

根据定义：

$$f = f_g - f_b(i_{lower}) - f_a(i_{upper})$$

代入：

• 因为 $i_c < i_{lower}$：

$$f_b(i_{lower}) = f_g - f_{out,i_{lower}}$$

$$f_a(i_{upper}) = f_{out,i_{upper}}$$

得到：

$$\begin{aligned} f &= f_g - (f_g - f_{out,i_{lower}}) - f_{out,i_{upper}} \\ &= f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}} \end{aligned}$$

---

Case 2: $i_{lower} \le i_c \le i_{upper}$（价格在区间内部）

根据定义：

$$f = f_g - f_b(i_{lower}) - f_a(i_{upper})$$

代入：

• 因为 $i_{lower} \le i_c$

$$f_b(i_{lower}) = f_{out,i_{lower}}$$

• 因为 $i_c \le i_{upper}$

$$f_a(i_{upper}) = f_{out,i_{upper}}$$

得到：

$$f = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

---

Case 3：$i_{upper} < i_c$（价格在区间右侧）

根据定义：

$$f = f_g - f_b(i_{lower}) - f_a(i_{upper})$$

代入：

• 因为 $i_{upper} < i_c$

$$f_b(i_{lower}) = f_{out,i_{lower}}$$

$$f_a(i_{upper}) = f_g - f_{out,i_{upper}}$$

得到：

$$\begin{aligned} f &= f_g - f_{out,i_{lower}} - (f_g - f_{out,i_{upper}}) \\ &= f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}} \end{aligned}$$

三种情况统一为：

$$f(i_{lower}, i_{upper}) = \begin{cases} f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}, & i_c < i_{lower} \\ f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}, & i_{lower} \le i_c \le i_{upper} \\ f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}}, & i_{upper} < i_c \end{cases}$$

8. 未初始化 tick 下的累计手续费计算

在上一节中，我们已经得到了统一的区间 fee 表达式：

$$f(i_{lower}, i_{upper}) = \begin{cases} f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}, & i_c < i_{lower} \\ f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}, & i_{lower} \le i_c \le i_{upper} \\ f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}}, & i_{upper} < i_c \end{cases}$$

接下来我们考虑一个特殊但非常重要的情况：

区间边界 $i_{lower}, i_{upper}$ 在 position 创建时均未被 initialize

这意味着在创建时刻 $t_0$：

$$f_{out,i_{lower}} = 0, \quad f_{out,i_{upper}} = 0$$

同时定义：

$$F_0 = f(i_{lower}, i_{upper}) \text{ at } t_0$$

$$F_k = f(i_{lower}, i_{upper}) \text{ at } t_k$$

目标是计算：

$$F_k - F_0$$

---

Case 1：$i_c < i_{lower}$（价格始终在区间左侧）

此时使用公式：

$$f = f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = 0 - 0 = 0$$

某一时刻 $t_2$

假设价格在 $t_1$ 时首次穿过 $i_{lower}$，则：

$$f_{out,i_{lower}} = f_{g1}$$

而 $i_{upper}$ 仍未被触及：

$$f_{out,i_{upper}} = 0$$

因此：

$$F_2 = f_{g2} - (f_{g1} - 0) - 0 = f_{g2} - f_{g1}$$

得到：

$$F_2 - F_0 = f_{g2} - f_{g1}$$

---

Case 2：$i_{lower} \le i_c \le i_{upper}$（价格进入区间内部）

使用公式：

$$f = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

初始时刻 $t_0$

由于两个 tick 都未初始化：

$$F_0 = f_{g0} - f_{g0} - 0 = 0$$

某一时刻 $t_2$

假设：

• $i_{lower}$ 已被穿过（在 $t_1$）
• $i_{upper}$ 尚未穿过

则：

$$f_{out,i_{lower}} = f_{g0}, \quad f_{out,i_{upper}} = 0$$

因此：

$$F_2 = f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}} = f_{g1} - f_{g0}$$

得到：

$$F_2 - F_0 = f_{g1} - f_{g0}$$

---

Case 3：$i_{upper} < i_c$（价格穿过整个区间）

使用公式：

$$f = f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = 0$$

某一时刻 $t_2$

假设：

• $i_{lower}$ 在 $t_0$ 之前已初始化
• $i_{upper}$ 在 $t_1$ 被穿过

则：

$$f_{out,i_{lower}} = f_{g0}, \quad f_{out,i_{upper}} = f_{g1}$$

因此：

$$F_2 = f_{g2} - f_{g0} - (f_{g1} - f_{g0}) = f_{g2} - f_{g1}$$

得到：

$$F_2 - F_0 = f_{g2} - f_{g1}$$

---

无论当前价格相对于区间的位置如何（左侧 / 内部 / 右侧），在边界 tick 初始未被 initialize 的情况下，都有：

$$F_k - F_0 = f_{g,k} - f_{g,\text{entry}}$$

• 在 tick 尚未初始化之前，区间边界并没有形成“分割”
• 因此 fee growth 不会被分配到 outside
• 整个区间的 fee accumulation 等价于 global fee growth 的变化

9. lower 已初始化，upper 未初始化

在上一节中，我们分析了两个 tick 都未初始化，现在我们进入一个更关键的中间态：

$i_{lower}$ 已初始化，$i_{upper}$ 尚未初始化

初始状态（position 创建时）

设 position 创建于 $t_0$，当前价格为 $i_c$

由于：

• $i_{lower}$ 已初始化
• $i_{upper}$ 未初始化

因此：

$$f_{out,i_{lower}} = f_L \neq 0$$

$$f_{out,i_{upper}} = 0$$

其中：

$$f_L = f_{out,i_{lower}} \text{ at } t_0$$

定义：

$$F_0 = f(i_{lower}, i_{upper}) \text{ at } t_0$$

$$F_k = f(i_{lower}, i_{upper}) \text{ at } t_k$$

目标仍然是：

$$F_k - F_0$$

---

Case 1：$i_c < i_{lower}$（价格在区间左侧）

此时：

$$f = f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = f_L - 0 = f_L$$

某一时刻 $t_2$

价格在 $t_1$ 时穿过 $i_{lower}$，发生一次 flip：

$$f_{out,i_{lower}} = f_g - f_{out,i_{lower}}$$

即：

$$f_{out,i_{lower}} = f_{g1} - f_L$$

而：

$$f_{out,i_{upper}} = 0$$

因此：

$$F_2 = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

代入：

$$F_2 = f_{g2} - (f_{g1} - f_L) - 0$$

差值

$$\begin{aligned} F_2 - F_0 &= f_{g2} - (f_{g1} - f_L) - f_L \\ &= f_{g2} - f_{g1} \end{aligned}$$

---

Case 2：$i_{lower} \le i_c \le i_{upper}$（价格进入区间内部）

此时：

$$f = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = f_{g0} - f_L - 0$$

某一时刻 $t_2$

此时：

• $i_{lower}$ 已被穿过（或本就在左侧）
• $i_{upper}$ 尚未被触及

因此：

$$f_{out,i_{lower}} = f_L$$

$$f_{out,i_{upper}} = 0$$

$$F_2 = f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}}$$

$$F_2 = f_{g1} - f_L$$

差值

$$\begin{aligned} F_2 - F_0 &= (f_{g1} - f_L) - (f_{g0} - f_L) \\ &= f_{g1} - f_{g0} \end{aligned}$$

---

Case 3：$i_{upper} < i_c$（价格穿过 upper）

此时：

$$f = f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = f_{g0} - f_L$$

某一时刻 $t_2$

假设：

• $i_{upper}$ 在 $t_1$ 被首次穿过（初始化）
• 同时发生 flip：

$$f_{out,i_{upper}} = f_{g1}$$

因此：

$$F_2 = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

代入：

$$F_2 = f_{g2} - f_L - (f_{g1} - f_{g0})$$

差值

$$\begin{aligned} F_2 - F_0 &= f_{g2} - f_L - (f_{g1} - f_{g0}) - (f_{g0} - f_L) \\ &= f_{g2} - f_{g1} \end{aligned}$$

---

这一节说明：只要 upper 还未初始化，区间“右边界”不会截断 fee“。

因此：

• fee 仍然只被 lower 截断一次
• 整体效果仍然等价于：

$$\Delta f_{\text{inside}} = \Delta f_g$$

10. upper 已初始化，lower 未初始化

在上一节中，我们分析了 **$i_{lower}$ 已初始化，$i_{upper}$ 未初始化，现在我们考虑完全对称的情况：

$i_{upper}$ 已初始化，$i_{lower}$ 未初始化

初始状态（position 创建时）

设 position 创建于 $t_0$，当前价格为 $i_c$

由于：

• $i_{lower}$ 未初始化
• $i_{upper}$ 已初始化

因此：

$$f_{out,i_{lower}} = 0$$

$$f_{out,i_{upper}} = f_U \neq 0$$

其中：

$$f_U = f_{out,i_{upper}} \text{ at } t_0$$

定义：

$$F_0 = f(i_{lower}, i_{upper}) \text{ at } t_0$$

$$F_k = f(i_{lower}, i_{upper}) \text{ at } t_k$$

目标仍然是：

$$F_k - F_0$$

---

Case 1：$i_c < i_{lower}$（价格在区间左侧）

此时：

$$f = f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = 0 - f_U$$

某一时刻 $t_2$

价格在 $t_1$ 时穿过 $i_{lower}$（首次初始化）：

$$f_{out,i_{lower}} = f_{g1}$$

而：

$$f_{out,i_{upper}} = f_U$$

因此：

$$F_2 = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

代入：

$$F_2 = f_{g2} - f_{g1} - f_U$$

差值

$$\begin{aligned} F_2 - F_0 &= (f_{g2} - f_{g1} - f_U) - (0 - f_U) \\ &= f_{g2} - f_{g1} \end{aligned}$$

---

Case 2：$i_{lower} \le i_c \le i_{upper}$（价格在区间内部）

此时：

$$f = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = f_{g0} - 0 - f_U$$

某一时刻 $t_2$

此时：

• $i_{lower}$ 尚未初始化
• $i_{upper}$ 已存在

因此：

$$f_{out,i_{lower}} = 0$$

$$f_{out,i_{upper}} = f_U$$

$$F_2 = f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}}$$

$$F_2 = f_{g1} - f_U$$

差值

$$\begin{aligned} F_2 - F_0 &= (f_{g1} - f_U) - (f_{g0} - f_U) \\ &= f_{g1} - f_{g0} \end{aligned}$$

---

Case 3：$i_{upper} < i_c$（价格在区间右侧）

此时：

$$f = f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = f_U - 0 = f_U$$

某一时刻 $t_2$

价格在 $t_1$ 时穿过 $i_{upper}$，发生 flip：

$$f_{out,i_{upper}} = f_g - f_{out,i_{upper}}$$

即：

$$f_{out,i_{upper}} = f_{g1} - f_U$$

因此：

$$F_2 = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

代入：

$$F_2 = f_{g2} - 0 - (f_{g1} - f_U)$$

差值

$$\begin{aligned} F_2 - F_0 &= (f_{g2} - f_{g1} + f_U) - f_U \\ &= f_{g2} - f_{g1} \end{aligned}$$

这一节与上一节形成完全对称关系：

• lower 初始化 → 截断左侧 fee
• upper 初始化 → 截断右侧 fee

但只要另一侧未初始化：区间仍然没有形成“完整边界” 。

因此：

• fee 只被单侧截断
• 整体仍然等价于 global fee growth

11. lower 与 upper 都已初始化（完整区间）

在前面几节中，我们已经证明：

• 两侧都未初始化 → 等价 global
• only lower → 等价 global
• only upper → 等价 global

现在进入最后一种情况：

$i_{lower}$ 与 $i_{upper}$ 都已初始化

初始状态（position 创建时）

设 position 创建于 $t_0$，当前价格为 $i_c$

此时：

$$f_{out,i_{lower}} = f_L$$

$$f_{out,i_{upper}} = f_U$$

其中：

$$f_L = f_{out,i_{lower}} \text{ at } t_0$$

$$f_U = f_{out,i_{upper}} \text{ at } t_0$$

定义：

$$F_0 = f(i_{lower}, i_{upper}) \text{ at } t_0$$

$$F_k = f(i_{lower}, i_{upper}) \text{ at } t_k$$

目标：

$$F_k - F_0$$

---

Case 1：$i_c < i_{lower}$（价格在区间左侧）

此时：

$$f = f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = f_L - f_U$$

某一时刻 $t_2$

价格在 $t_1$ 时穿过 $i_{lower}$，发生 flip：

$$f_{out,i_{lower}} = f_g - f_{out,i_{lower}} = f_{g1} - f_L$$

而：

$$f_{out,i_{upper}} = f_U$$

$$F_2 = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

代入：

$$F_2 = f_{g2} - (f_{g1} - f_L) - f_U$$

差值

$$\begin{aligned} F_2 - F_0 &= f_{g2} - (f_{g1} - f_L) - f_U - (f_L - f_U) \\ &= f_{g2} - f_{g1} \end{aligned}$$

---

Case 2：$i_{lower} \le i_c \le i_{upper}$（价格在区间内部）

此时：

$$f = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = f_{g0} - f_L - f_U$$

某一时刻 $t_2$

此时：

• lower 在左侧
• upper 在右侧

因此：

$$f_{out,i_{lower}} = f_L$$

$$f_{out,i_{upper}} = f_U$$

$$F_2 = f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}}$$

$$F_2 = f_{g1} - f_U - f_L$$

差值

$$\begin{aligned} F_2 - F_0 &= (f_{g1} - f_U - f_L) - (f_{g0} - f_L - f_U) \\ &= f_{g1} - f_{g0} \end{aligned}$$

---

Case 3：$i_{upper} < i_c$（价格在区间右侧）

此时：

$$f = f_{out,i_{upper}} - f_{out,i_{lower}}$$

初始时刻 $t_0$

$$F_0 = f_U - f_L$$

某一时刻 $t_2$

价格在 $t_1$ 时穿过 $i_{upper}$，发生 flip：

$$f_{out,i_{upper}} = f_{g1} - f_U$$

$$F_2 = f_g - f_{out,i_{lower}} - f_{out,i_{upper}}$$

代入：

$$F_2 = f_{g2} - f_L - (f_{g1} - f_U)$$

差值

$$\begin{aligned} F_2 - F_0 &= f_{g2} - f_L - (f_{g1} - f_U) - (f_U - f_L) \\ &= f_{g2} - f_{g1} \end{aligned}$$